Question

2．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）是偶函数，且满足：y=log_m（x-1）的图象过定点（c，0），方程f（x）=2x两个相等的实数根，将函数f（x）向右平移1个单位；向下平移$\frac{3}{2}$个单位，得到g（x）的图象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）试问：是否存在实数m、n，使函数g（x）在区间[n，n+2]上是单调函数，且其值域为[m．m+2]？若存在，求出实数m、n的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知，分别求出a，b，c值，可得f（x）的解析式，再由函数图象的平移变换法则，可得g（x）的解析式；
（2）由函数g（x）在区间[n，n+2]上是单调函数，可得区间对函数图象对称轴的一侧，分类讨论满足条件的m，n值，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函数y=f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），即ax²-bx+c=ax²+bx+c恒成立，
故b=0，
当x=2时，log_m（x-1）=0恒成立，
故y=log_m（x-1）的图象过定点（2，0），
即c=2，
∵方程f（x）=2x两个相等的实数根，
∴ax²+2=2x的△=4-8a=0，
∴a=$\frac{1}{2}$，
故f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2，
将函数f（x）的图象向右平移1个单位；向下平移$\frac{3}{2}$个单位，
可得：g（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$x²-x+1的图象，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+1；
（2）∵g（x）=$\frac{1}{2}$x²-x+1的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故当x=1时，函数取最小值$\frac{1}{2}$，
当n+2≤1，即n≤-1时，g（x）在[n，n+2]上单调递减，
则$\left\{\begin{array}{l}g（n）=m+2\\ g（n+2）=m\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{n}^{2}-n+1=m+2\\ \frac{1}{2}{（n+2）}^{2}-（n+2）+1=m\end{array}\right.$，
两式相减得：2n+2=0，即n=-1； 此时m=$\frac{1}{2}$
当n≥1时，g（x）在[n，n+2]上单调递增，
则$\left\{\begin{array}{l}g（n）=m\\ g（n+2）=m+2\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{n}^{2}-n+1=m\\ \frac{1}{2}{（n+2）}^{2}-（n+2）+1=m+2\end{array}\right.$，
两式相减得：2n-2=0，即n=1； 此时m=$\frac{1}{2}$
综上所述：存在n=±1，m=$\frac{1}{2}$满足条件．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．