Question

若抛物线y=2x²上的两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=x+m对称且x₁x₂=-

1

2

，求m的值．

Answer 1

分析：先假设出直线AB的方程为y=-x+b，然后代入到抛物线方程中消去y得到两根之和、两根之积，再由x₁x₂=-

1

2

可求出b的值从而确定直线AB的方程，再设AB的中点坐标M，根据A，B，M坐标之间的关系可得M的坐标，然后代入到直线y=x+m求出m的值．

解答：解：设直线AB的方程为y=-x+b，代入y=2x²得2x²+x-b=0，
∴x₁+x₂=-

1

2

，x₁x₂=

-b

2

=-

1

2

．
∴b=1，即AB的方程为y=-x+1．
设AB的中点为M（x₀，y₀），则
x₀=

x1+x2

2

=-

1

4

，代入y₀=-x₀+1，
得y₀=

5

4

．又M（-

1

4

，

5

4

）在y=x+m上，
∴

5

4

=-

1

4

+m．∴m=

3

2

．

点评：本题主要考查直线和抛物线的综合问题．属基础题．