Question

函数f（x）=x²-2x+2在闭区间[a，a+1]（a∈R）的最大值记为g（a）．
（1）试写出g（a）的函数表达式；
（2）若g（a）≥5，求出a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）配方可得f（x）=（x-1）²+1，确定对称轴与区间的位置关系，分类讨论，即可求得g（a）的函数表达式；
（2）由（1）的分段函数，结合变量的范围，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-1）²+1．
①当a+1≤1，即a≤0时，g（a）=a²-2a+2；
②当

a≤1＜a+1 a≤ 1 2

，即0＜a≤

1

2

时，g（a）=a²-2a+2；
③当

a≤1＜a+1 a＞ 1 2

时，即

1

2

＜a≤1时，g（a）=a²+1；
④当a＞1时，g（a）=a²+1．
综上：g(a)=

a2-2a+2(a≤ 1 2 ) a2+1(a＞ 1 2 )

…（6分）
（2）当a²-2a+2≥5，解得a≥3或a≤-1，
∵a≤

1

2

，∴a≤-1；
当a²+1≥5，解得a≥2或a≤-2，
∵a＞

1

2

，∴a≥2．
综上：a的取值范围是a≤-1或a≥2． …（12分）

点评：本题考查利用配方法求函数的最值，考查分段函数，考查解不等式，利用对称轴与区间的位置关系，分类讨论是解题的关键．