Question

已知函数f(x)=cos2(x+

π

12

)+sinxcosx，．
（1）求f（x）的最小正周期和图象的对称中心；
（2）若存在x₀∈[-

π

4

，

π

2

]，使得不等式f（x₀）＜m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：利用二倍角公式化简2的表达式为一个角的一个三角函数的形式，
（1）直接利用周期公式求出函数的周期，结合三角函数的对称中心求解即可．
（2）x₀∈[-

π

4

，

π

2

]，求出-

3

2

≤sin(2x0+

π

3

)≤1，即可求出m的取值范围．

解答：解：f(x)=

1+cos(2x+ π 6 )

2

+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

(

3

2

cos2x-

1

2

sin2x)+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

sin(2x+

π

3

)
（1）f（x）的最小正周期为π，令2x+

π

3

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

6

(k∈Z)，
所以函数f（x）的图象的对称中心为(

kπ

2

-

π

6

，

1

2

)(k∈Z)．（6分）
（2）由x₀∈[-

π

4

，

π

2

]，得-

π

6

≤2x0+

π

3

≤

4π

3

，则-

3

2

≤sin(2x0+

π

3

)≤1，
于是

1

2

-

3

4

≤f(x0)≤1，而若存在x₀∈[-

π

4

，

π

2

]使得不等式f（x₀）＜m成立，
只需m＞f（x₀）_min，即m的取值范围为(

1

2

-

3

4

，+∞)．（6分）

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，注意区别恒成立问题与本题的区别．考查计算能力．