Question

【题目】若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】证明：由于f(x)在[a，b]上的图象连续，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，

所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，

假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.

若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，则f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．

因此假设不成立，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．