题目内容

如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距 $数学公式$ 海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（其中 $数学公式$ ，0°＜θ＜45°）且与观测站A相距 $数学公式$ 海里的C处．
（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如果货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．

解：（1）由题意，AB= $\text{[math]}$ ，AC= $\text{[math]}$ ，∠BAC=θ
∵ $\text{[math]}$ ，0°＜θ＜45°，∴cosθ= $\text{[math]}$
由余弦定理可得BC²=AB²+AC²-2AB×ACcosθ=125，∴BC=5 $\text{[math]}$
∵航行时间为20分钟
∴该船的行驶速度v= $\text{[math]}$ =15 $\text{[math]}$ （海里/小时）；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴sinB= $\text{[math]}$
设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B
在△AFC中，由正弦定理可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，0°＜θ＜45°，sinθ= $\text{[math]}$ ，cosθ= $\text{[math]}$
∴AF= $\text{[math]}$ （海里）
∴F与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．
分析：（1）利用 $\text{[math]}$ ，0°＜θ＜45°，求出cosθ的值，再利用余弦定理，即可求得结论；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB= $\text{[math]}$ ，sinB= $\text{[math]}$ ，设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B，在△AFC中，由正弦定理，即可求得结论．
点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定三角形，属于中档题．