题目内容
如图，有一位于A处的雷达观测站发现其北偏东45°，与A相距
海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东45°+θ（其中
，0°＜θ＜45°）且与观测站A相距
海里的C处．（1）求该船的行驶速度v（海里/小时）；
（2）在离观测站A的正南方20海里的E处有一暗礁（不考虑暗礁的面积），如果货船不改变航向继续前行，该货船是否有触礁的危险？试说明理由．
【答案】分析：（1）利用
，0°＜θ＜45°，求出cosθ的值，再利用余弦定理，即可求得结论；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=
，sinB=
，设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B，在△AFC中，由正弦定理，即可求得结论．
解答：
解：（1）由题意，AB=
，AC=
，∠BAC=θ
∵
，0°＜θ＜45°，∴cosθ=
由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcosθ=125，∴BC=5
∵航行时间为20分钟
∴该船的行驶速度v=
=15
（海里/小时）；
（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=
=
，
∴sinB=
设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B
在△AFC中，由正弦定理可得
∴
，0°＜θ＜45°，sinθ=
，cosθ=
∴AF=
（海里）
∴F与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．
点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定三角形，属于中档题．
，0°＜θ＜45°，求出cosθ的值，再利用余弦定理，即可求得结论；（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=
，sinB=，设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B，在△AFC中，由正弦定理，即可求得结论．解答：
解：（1）由题意，AB=，AC=，∠BAC=θ∵
，0°＜θ＜45°，∴cosθ=由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB×ACcosθ=125，∴BC=5
∵航行时间为20分钟
∴该船的行驶速度v=
=15（海里/小时）；（2）由（1）知，在△ABC中，cosB=
=，∴sinB=
设BC延长线交AE于F，则∠AFB=45°-∠B，∠ACF=θ+∠B
在△AFC中，由正弦定理可得
∴
，0°＜θ＜45°，sinθ=，cosθ=∴AF=
（海里）∴F与E重合，即货船不改变航向继续前行会有触礁的危险．
点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是确定三角形，属于中档题．
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，0°＜θ＜45°）且与观测站A相距
海里的C处．
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，0°＜θ＜45°）且与观测站A相距
海里的C处．