Question

已知圆M：（x-m）²+（y-n）²=γ²及定点N（1，0），点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（Ⅰ）若m=-1，n=0，r=4，求点G的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若动圆M和（Ⅰ）中所求轨迹C相交于不同两点A、B，是否存在一组正实数m，n，r使得直线MN垂直平分线段AB，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用向量间的关系求出点Q为PN的中点以及|PG|=|GN|，可得点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆进而求出点G的轨迹C的方程；
（Ⅱ）先假设存在，利用点差法（把点的坐标代入椭圆后两方程作差）求出直线的斜率和中点坐标之间的关系，再利用直线MN垂直平分线段AB求出中点横坐标，与条件相比较可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵

NP

=2

NQ

，
∴点Q为PN的中点，
又∵

GQ

•

NP

=0，
∴GQ⊥PN或G点与Q点重合．
∴|PG|=|GN|．（2分）
又|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=|PM|=4．
∴点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，且a=2，c=1．
∴b=

a2-c2

=

3

，∴G的轨迹方程是

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（Ⅱ）解：不存在这样一组正实数，下面证明：（6分）
由题意，若存在这样的一组正实数，当直线MN的斜率存在时，设之为k，
故直线MN的方程为：y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点D（x₀，y₀），
则

x12 4 + y12 3 =1 x22 4 + y22 3 =1

，
两式相减得：

(x1-x2)(x1+x2)

4

+

(y1-y2)(y1+y2)

3

=0，①（8分）
注意到

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

，且

x0= x1+x2 2 y0= y1+y2 2

，
则

3x0

4y0

=

1

k

．②
又点D在直线MN上，
∴y₀=k（x₀-1），代入②式得：x₀=4，
因为弦AB的中点D在（1）所给椭圆C内，
故-2＜x₀＜2，这与x₀=4矛盾．
所以所求这组正实数不存在．（11分）
当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1，
则此时y₁=y₂，x₁+x₂=2，
代入①式得x₁-x₂=0，这与A，B是不同两点矛盾．
综上，所求的这组正实数不存在．（12分）

点评：本题是对圆，椭圆，向量以及直线与圆锥曲线位置关系的综合考查，由于知识点较多，是道难题．