题目内容

已知函数f（x）=ax²+1nx（a∈R）．
（I）当 $数学公式$ 时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（II）如果在公共定义域D上的函数g（x），f₁（x），f₂（x）满足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就称g（x）为f₁（x）、f₂（x）的“活动函数”，已知函数 $数学公式$ ， $数学公式$ ，若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f₁（x）、f₂（x）的“活动函数”，求实数a的取范围．

解：（I）当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）= $\text{[math]}$ x²+1nx，定义域为（0，+∞）
求导函数可得f′（x）=x+ $\text{[math]}$ ＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函数在（0，+∞）上单调增
∴f（x）在区间[1，e]上单调增
∵f（1）= $\text{[math]}$ ，f（e）= $\text{[math]}$
∴f（x）在区间[1，e]上的最大值为 $\text{[math]}$ 和最小值为 $\text{[math]}$ ；
（II）由题意， $\text{[math]}$ ＜0且 $\text{[math]}$ ＞0，在区间（1，+∞）上恒成立
令 $\text{[math]}$ （x＞1），则g′（x）=- $\text{[math]}$ ，∴函数g（x）在（1，+∞）上单调减
∵g（1）= $\text{[math]}$ +2a，∴ $\text{[math]}$ +2a≤0，∴a≤ $\text{[math]}$ ；
令h（x）=f₂（x）-f（x）= $\text{[math]}$ ，则h′（x）= $\text{[math]}$ ，
又由x∈（1，+∞），且a≤ $\text{[math]}$ ，分析易得h′（x）= $\text{[math]}$ ＜0，
即h（x）在（1，+∞）上为减函数，则h（x）_max=h（1），
只要使h（1）≤0即可，即a- $\text{[math]}$ -2a≤0，解可得，a≥- $\text{[math]}$ ，
综合可得，- $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（I）当 $\text{[math]}$ 时，函数f（x）= $\text{[math]}$ x²+1nx，定义域为（0，+∞），确定f（x）在区间[1，e]上单调增，由此可得结论；
（II）由题意， $\text{[math]}$ ＜0且 $\text{[math]}$ ＞0，在区间（1，+∞）上恒成立，分别确定函数的最小与最大，即可求得a的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．