Question

13．已知直线l过点P（-3，4）
（1）若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程；
（2）若直线l与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点，试求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，把点P代入可得：$\frac{-3}{a}+\frac{4}{b}=1$，与a+b=12联立解出即可；
（2）设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（a＜0，b＞0），把点P代入可得：$\frac{-3}{a}+\frac{4}{b}=1$，利用基本不等式的性质可得：-ab≥48．当且仅当a=-6，b=8时取等号，即可得出三角形的面积及其直线l的方程．

解答 解：（1）设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，把点P代入可得：$\frac{-3}{a}+\frac{4}{b}=1$，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-3}{a}+\frac{4}{b}=1}\\{a+b=12}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=9}\\{b=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4}\\{b=16}\end{array}\right.$．
∴直线l的方程为$\frac{x}{9}+\frac{y}{3}=1$或$\frac{x}{-4}+\frac{y}{16}=1$．
（2）设直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（a＜0，b＞0），把点P代入可得：$\frac{-3}{a}+\frac{4}{b}=1$，∴1$≥2\sqrt{\frac{3}{-a}•\frac{4}{b}}$，化为-ab≥48．当且仅当a=-6，b=8时取等号．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}（-a）b$$≥\frac{1}{2}×48$=24，
此时直线l的方程为：$\frac{x}{-6}+\frac{y}{8}=1$．

点评 本题考查了直线的截距式、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．