Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an﹣3（﹣1）n（n∈N*）．
（1）若bn=a2n﹣1，求证：bn+1=4bn；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若a1+2a2+3a3+…+nan＞λ2n对一切正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解： =
（2）解：a2=2a1﹣3（﹣1）=5，b1=a2﹣1=4，因为bn+1=4bn

所以 ，所以{bn}是等比数列，所以bn=4n=a2n﹣1， ， ，

所以 ，即

（3）解：由（2） ，

令S=121+222+…+n2n

则2S=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1 ，

S=（n﹣1）2n+1+2

n为奇数时， ，

n为偶数时，

所以n为奇数时 ，

即 恒成立，

易证 递增，n=1时 取最小值 ，

所以 n为偶数时，

，

即 ，

易证 递增，n=2时 取最小值 ，

所以

综上可得

【解析】（1）根据数列递推公式即可证明，（2）先求出数列{bn}的通项公式，再分类求出{an}的通项公式，（3）令S=121+222+…+n2n根据错位相减法求出Sn ， 分离参数，根据数列的函数特征即可求出λ的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．