Question

6．已知a＞0，函数f（x）=ax³-3x+1，x∈[-1，1]，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 先求导并化简f′（x）=3ax²-3=3a（x²-$\frac{1}{a}$）=3a（x+$\frac{1}{\sqrt{a}}$）（x-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）；从而由导数的正负讨论以确定函数的单调性，从而求函数的最值．

解答 解：∵f（x）=ax³-3x+1，
∴f′（x）=3ax²-3=3a（x²-$\frac{1}{a}$）=3a（x+$\frac{1}{\sqrt{a}}$）（x-$\frac{1}{\sqrt{a}}$）；
①当0＜a≤1时，$\frac{1}{\sqrt{a}}$≥1；
故f（x）在[-1，1]上是减函数，
故f_min（x）=f（1）=a-2；
②当a＞1时，$\frac{1}{\sqrt{a}}$＜1；
f（x）在[-1，-$\frac{1}{\sqrt{a}}$]上是增函数，在[-$\frac{1}{\sqrt{a}}$，$\frac{1}{\sqrt{a}}$]上是减函数，在[$\frac{1}{\sqrt{a}}$，1]上是增函数，
且f（-1）=4-a，f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=1-$\frac{2}{\sqrt{a}}$，
又∵f（-1）-f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=4-a-（1-$\frac{2}{\sqrt{a}}$）
=-$（\sqrt{a}-2）$$（\sqrt{a}+1）^{2}$，
故当$\sqrt{a}$≤2，即a≤4时，f（-1）≥f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$），
故f_min（x）=f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$）=1-$\frac{2}{\sqrt{a}}$，
当$\sqrt{a}$＞2，即a＞4时，f（-1）＜f（$\frac{1}{\sqrt{a}}$），
故f_min（x）=f（-1）=4-a．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．