Question

设等差数列的首项为a,公差为d ( d>0 ). 数列定义如下：对于正整数m，是使不等式成立的所有n中的最大值.（例如：b₁是使不等式成立的所有n中的最大值,b₂是使不等式成立的所有n中的最大值，……,如此类推).

（1）若， 求；

（2）若，求数列前2m项的和；

（3）是否存在等差数列，使得，若存在，求a和d的范围；

若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）当m=5时,由,解得，则n的最大整数为10，

所以 =10 .   ……………………2分

（2）由，解得.

当m为奇数时，n的最大整数为；

当m为偶数时，n的最大整数为,  所以. …………………5分

==.   …………………………………………8分

（3））假设存在等差数列，使得。由，解得。因是使不等式成立的所有n中的最大值，故

对任意正整数m都成立，变形整理可得（★）对任意正整数m都成立. …………………………11分

当1-3d=0即d=时，要使（★）对任意正整数m都成立，还需成立，即

，故当d=，时，满足题意，所以存在等差数列；

②当1-3d>0即0<d<时, 不等式（★）变为，因均为确定的实数，所以m为一定范围内的整数，不是所有的正整数，故（★）不等式不是对任意正整数m都成立；

③当1-3d<0即d>时, 不等式（★）变为，因均为确定的实数，所以m为一定范围内的整数，不是所有的正整数，故（★）不等式不是对任意正整数m都成立。

综合上述：存在等差数列满足题意，此时d=，.  …………………16分