Question

19．已知圆O的圆心为原点O，且与直线x+y+4$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求圆O的方程；
（2）斜率为1的直线l与圆O相交于A，B两点，求直线l的方程，使△OAB的面积最大．

Answer 1

分析 （1）利用点到直线的距离公式求出半径，则问题获解；
（2）根据三角形面积公式可知，当∠AOB最大时，三角形面积最大．

解答 解：（1）由题意r=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}=4$，圆心为（0，0）．
故圆O的方程为x²+y²=16．
（2）已知△AOB中，OA=OB=r=4．
所以S=$\frac{1}{2}×OA•OBsinA=8sinA$，A∈（0，π）．
所以当A=$\frac{π}{2}$，即△ABC为等腰直角三角形时，其面积最大．
此时圆心O到直线的距离为$2\sqrt{2}$．
设直线l的方程为y=x+b，即x-y+b=0．
则$\frac{|b|}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$，
所以b=±4．
所以直线l的方程为x-y+4=0或x-y-4=0．

点评 本题主要是考查了直线与圆的位置关系，一般来讲要转化为直线到圆心的距离与半径的关系问题来分析．