题目内容
（2012•泉州模拟）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin(A-
)=cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．
| π | 6 |
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求b+c的最大值．
分析：解法一：（Ⅰ）由已知利用两角差的正弦公式展开可求tanA，结合0＜A＜π，可求A
（Ⅱ）由正弦定理得b=
=
sinB，c=
=
sinC，则有b+c=
(sinB+sinC)，结合（I）中的A可得B+C，代入上式，然后结合和差角及辅助角公式可求
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，结合（I）中A可得，b，c的关系，然后利用基本不等式即可求
（Ⅱ）由正弦定理得b=
| a•sinB |
| sinA |
| 4 | ||
|
| a•sinC |
| sinA |
| 4 | ||
|
| 4 | ||
|
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，结合（I）中A可得，b，c的关系，然后利用基本不等式即可求
解答：解法一：（Ⅰ）由已知有sinA•cos
-cosA•sin
=cosA，…（2分）
故sinA=
cosA，tanA=
．…（4分）
又0＜A＜π，
所以A=
．…（5分）
（Ⅱ）由正弦定理得b=
=
sinB，c=
=
sinC，…（7分）
故b+c=
(sinB+sinC)．…（8分）sinB+sinC=sinB+sin(
-B)=sinB+sin
•cosB-cos
•sinB=
sinB+
cosB
=
sin(B+
)．…（10分）
所以b+c=4sin(B+
)．
因为0＜B＜
，所以
＜B+
＜
．
∴当B+
=
即B=
时，sin(B+
)取得最大值1，
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得，4=b2+c2-bc，…（8分）
所以4=（b+c）2-3bc，即(b+c)2-3(
)2≤4，…（10分）
∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．
所以，当且仅当b=c，即△ABC为正三角形时，b+c取得最大值4．…（12分）
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
故sinA=
| 3 |
| 3 |
又0＜A＜π，
所以A=
| π |
| 3 |
（Ⅱ）由正弦定理得b=
| a•sinB |
| sinA |
| 4 | ||
|
| a•sinC |
| sinA |
| 4 | ||
|
故b+c=
| 4 | ||
|
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
=
| 3 |
| π |
| 6 |
所以b+c=4sin(B+
| π |
| 6 |
因为0＜B＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴当B+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
b+c取得最大值4．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得，4=b2+c2-bc，…（8分）
所以4=（b+c）2-3bc，即(b+c)2-3(
| b+c |
| 2 |
∴（b+c）2≤16，故b+c≤4．
所以，当且仅当b=c，即△ABC为正三角形时，b+c取得最大值4．…（12分）
点评：本小题主要考查两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
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