题目内容

设函数f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(,1).

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)若y=f(x)的图象经过点(,0),求函数f(x)的值域.

 

【答案】

(1) (2) [-2-,2-]

【解析】

解:(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωsinx+2sinωx·cosωx+λ

=-cos2ωx+sin2ωx+λ

=2sin(2ωx-)+λ.

由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,

可得sin(2ωπ-)=±1,

所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),

即ω=+(k∈Z).

又ω∈(,1),k∈Z,

所以k=1,故ω=.

所以f(x)的最小正周期是.

(2)由y=f(x)的图象过点(,0),

得f()=0,

即λ=-2sin(×-)

=-2sin=-,

即λ=-.

故f(x)=2sin(x-)-.

所以函数f(x)的值域为[-2-,2-].

 

练习册系列答案
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已知向量
a
=(cos2ωx-sin2ωx，sinωx)，
b
=(
3
，2cosωx)，设函数f(x)=
a
•
b
(x∈R)的图象关于直线x=
π
2
对称，其中ω为常数，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若将y=f（x）图象上各点的横坐标变为原来的
1
6
，再将所得图象向右平移
π
3
个单位，纵坐标不变，得到y=h（x）的图象，若关于x的方程h（x）+k=0在区间[0，
π
2
]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
已知向量
a
=(sinα，-
1
2
)，
b
=(1，2cosα），
a
•
b
=
1
5
，α∈(0，
π
2
)
（1）求sin2α及sinα的值；
（2）设函数f(x)=5sin(-2x+
π
2
+α)+2cos2x(x∈[
π
24
，
π
2
])，求x为何值时，f（x）取得最大值，最大值是多少，并求f（x）的单调增区间．
（2012•安徽模拟）设函数f(x)=sinx+cosx•sinφ-2sinx•sin2
φ
2
(|φ|＜
π
2
)在x=
π
3
处取得极大值．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边且a=1，b=
3
，f(A)=
3
2
，求A．

设函数f(x)=-sin2ωx-sinωxcosωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.

(1)求ω的值;

(2)求f(x)在区间[π,]上的最大值和最小值.

 

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