题目内容

已知定义在R上的单调递增函数满足,且。

（Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明之；

（Ⅱ）解关于的不等式：；

（Ⅲ）设集合,.，若集合有且仅有一个元素，求证: 。

 

【答案】

（Ⅰ）函数为R上的奇函数,（Ⅱ）,（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）抽象函数奇偶性的证明，先令，再令可求得出函数为奇函数, （Ⅱ）由（Ⅰ）知在上为奇函数，则利用单调性及与-1的关系可解得； （Ⅲ）先对进行化简，再利用两方程有唯一解求证.

试题解析：（Ⅰ）令,

令,,

函数为R上的奇函数.                        （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

又函数是单调递增函数,

故                    （8分）

（Ⅲ）

,又有且仅有一个元素,即方程组有唯一解,

即仅有一个实根, ,即 （13分）

考点：抽象函数求奇偶性,不等关系,交集定义,函数与方程.

 

练习册系列答案
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15、已知定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立，则（i）f（1）+f（0）=
0
（ii）x0的值为
1
．
已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对任意正整数n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，求Sn和Tn；
（3）若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
4
35
[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．
已知定义在R上的单调函数y=f（x），当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），
（1）求f（0），并写出适合条件的函数f（x）的一个解析式；
（2）数列{an}满足a1=f(0)且f(an+1)=
1
f(-2-an)
(n∈N+)，
①求通项公式an的表达式；
②令bn=(
1
2
)an，Sn=b1+b2+…+bn，Tn=
1
a1a2
+
1
a2a3
+…+
1
anan+1
，试比较Sn与
4
3
Tn的大小，并加以证明；
③当a＞1时，不等式
1
an+1
+
1
an+2
+…+
1
a2n
＞
12
35
(log a+1x-log ax+1)对于不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．
（2009•黄冈模拟）已知定义在R上的单调函数f（x），存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+f（x1）+f（x2）恒成立．
（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对于任意正整数n，有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
4
3
Sn与Tn的大小关系，并给出证明；
（3）在（2）的条件下，若不等式an+1+an+2+…+a2n＞
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[log
1
2
(x+1)-log
1
2
(9x2-1)+1]对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围．
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（1）求x0的值；
（2）若f（x0）=1，且对任意的正整数n．有an=
1
f(n)
，bn=f(
1
2n
)+1，记Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，Tn=b1b2+b2b3+…+bnbn+1，比较
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Sn与Tn的大小关系，并给出证明．

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