题目内容

（1）已知f(x)=x+
1
x
，x∈[
1
10
，10]，试研究f（x）的单调性；
（2）若|lga-lgb|≤1，求证：
a
b
+
b
a
≤10
1
10
．
分析：（1）利用v形函数的性质可得．
（2）先得到
a
b
的取值范围，再利用（1）可得．
解答：解：（1）由v形函数g（x）=x+
a
x
的性质：当-∞＜x＜-
a
和x＞
a
时，函数单调递增．当-
a
＜x＜0和0＜x＜
a
时函数单调递减．
可得f（x）=x+
1
x
当
1
10
≤x≤1时单调递减，当1＜x≤10时单调递增．
所以：f（x）当
1
10
≤x≤10时的增区间为：【
1
10
，1】，减区间为：【1，10】
（2）证明：由已知可得
1
10
＜
a
b
＜10，令
a
b
=x即可利用（1）的结论，知f（x）=x+
1
x
≤f（10）=10
1
10

故得证．
点评：本题考查v形函数的性质及应用，需要熟悉它的基本性质，高考中有应用．
练习册系列答案
相关题目
例2、（1）已知f(x+
1
x
)=x3+
1
x3
，求f（x）．
（2）已知f(
2
x
+1)=lgx，求f（x）．
（3）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）．
（4）已知f（x）满足2f(x)+f(
1
x
)=3x，求f（x）．
（1）已知f(x)的定义域为(-
1
2
，
3
2
)，则f(cosx)的定义域为
 
．
（2）设f（2sinx-1）=cos2x，则f（x）的定义域为
 
．
（1）已知f(
x
+1)=x+2，求函数f（x）的解析式；
（2）若二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1，求f（x）的解析式．
给出以下五个命题：
①任意n∈N*，（n2-5n+5）2=1．
②已知f(x)=
x
1+x2
，则
f(f(f(…)))
 n个
=
x
1+nx2
．
③设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，则CU（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定义在R上的函数y=f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知a＞0，b＞0，则
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4．
其中正确命题的序号是
②⑤
②⑤
．
（1）已知f(
x
-1)=x+
x
，求函数f（x）的解析式．
（2）已知f（x）+2f（-x）=x2+2x，求f（x）的解析式．

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