Question

已知函数f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）过定点A．
（1）求点A的坐标；
（2）解关于x的不等式f（x）＞2．

Answer 1

分析：（1）要求一个底数不确定的指数函数的图象所过的定点，关键是根据a⁰=1，即令指数部分为0是解答本题的关键．
（2）由（1）的结论，我们可将不等式f（x）＞2化为不等式f（x）＞f（1），我们分a＞1时和0＜a＜1时两种情况进而分类讨论，最后进而综合讨论结果，即可得到答案．

解答：解：（1）当x-1=0时，x=1时
f（x）=a^x-1+1=a⁰+1=2
故函数f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）过定点（1，2）
（2）当a＞1时，函数f（x）=a^x-1+1为增函数
则不等式f（x）＞2可化为f（x）＞f（1）
解得x＞1
则不等式f（x）＞2的解集为（1，+∞）
当0＜a＜1时，函数f（x）=a^x-1+1为减函数
则不等式f（x）＞2可化为f（x）＜f（1）
解得x＜1
则不等式f（x）＞2的解集为（-∞，1）

点评：本题考查的知识点是指数函数的单调性与特殊点，指数函数的单调性的应用，其中（1）的关键是指数的运算性质中a⁰=1，（2）的关键是对a值进行分类讨论．