Question

已知椭圆C₁：

x2

4

+y2=1，双曲线C₂：

x2

3

-y2=1．若直线l：y=kx+

2

与椭圆C₁、双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两交点A、B满足

OA

•

OB

＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析：由l与椭圆C₁恒有两个不同的交点，可得解得 k2＞

1

4

 ①，由l与C₂ 有两个不同的交点可得 k²≠

1

3

，且k²＜1  ②，再由

OA

•

OB

＜6 可得k2＞

13

15

 或k2＜

1

3

  ③，结合①②③求得k²的取值范围，即可得到k的取值范围．

解答：解：将y=kx+

2

代入

x2

4

+y2=1得，(1+4k2)x2+8

2

kx+4=0，
由判别式 △1=(8

2

k)2-16(4k2+1)＞0，解得 k2＞

1

4

 ①．
将y=kx+

2

代入

x2

3

-y2=1得，（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0，
由l与C₂ 有两个不同的交点可得

1-3k2≠ 0 △2=(- 6 2 k)2+36(1-3k2)＞0

，解得 k²≠

1

3

，且k²＜1  ②，
根据

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂+

2

k(x1+x2)+2=

3k2+7

3k2-1

＜6，
解得k2＞

13

15

，或k2＜

1

3

  ③．  由①②③得

1

4

＜k2＜

1

3

，或

13

15

＜k2＜1．
故k的取值范围为：(-1，-

13 15

)∪(-

3

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

3

3

)∪(

13 15

，1)．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，两个向量的数量积公式的应用，求得

1

4

＜k2＜

1

3

，或

13

15

＜k2＜1，是解题的难点和关键．