题目内容
在平面直角坐标系
中，设点
(1，0)，直线
:
，点
在直线上移动，
是线段
与
轴的交点, 
.
(Ⅰ)求动点
的轨迹的方程；
(Ⅱ) 记的轨迹的方程为
，过点作两条互相垂直的曲线的弦
、
，设、 的中点分别为
．求证：直线
必过定点
．
（Ⅰ）动点
的轨迹
是以
为焦点，
为准线的抛物线，其方程为：
．
（Ⅱ）见解析
解析:
(Ⅰ)依题意知，直线的方程为：
．点
是线段
的中点，且
⊥，∴是线段的垂直平分线．…………………….2分
∴
是点到直线的距离．
∵点在线段的垂直平分线，∴
．…………4分
故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为：． ……….7分
(Ⅱ) 设
，
，直线AB的方程为
…………….8分
则
（1）—（2）得
，即
，……………………………………9分
代入方程，解得
．
所以点Ｍ的坐标为
．……………………………………10分
同理可得：
的坐标为
．
直线
的斜率为
，方程为
，整理得
，………………12分
显然，不论
为何值，
均满足方程，
所以直线恒过定点．………………14
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