题目内容

已知函数f(x)=ax3+x2-bx+4(a≠0)在x=1处取到极值.
(Ⅰ)求a,b满足的关系式;
(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)+2x>1-6ax;
(Ⅲ)当-
13
<a<0
时,给定定义域为D=[0,1]时,函数y=f(x)是否满足对任意的x1,x2∈D,都有|f(x1)-f(x2)|<1,如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由.
分析:(I)先求出函数的导函数,然后根据函数在x=1处取到极值,则f'(1)=0建立等式关系,从而求出a,b满足的关系式;
(II)将f(x)的解析式代入,然后化简整理提取公因式,讨论a的正负,从而求出不等式的解集;
(III)利用导数研究函数在[0,1]上的最值,然后只需使|f(x)max-f(x)min|<1成立即可.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=3ax2+2x-b
∵函数f(x)=ax3+x2-bx+4(a≠0)在x=1处取到极值
∴f'(1)=3a+2-b=0即b=3a+2
(Ⅱ)f(x)+2x>1-6ax即ax3+x2-(3a+2)x+4+2x>1-6ax?ax3+x2+3ax+3>0?(x2+3)(ax+1)>0?ax+1>0
故:当a>0时,不等式的解集为{x|x>-
1
a
}

当a<0时,不等式的解集为{x|x<-
1
a
}

(Ⅲ)f(x)=ax3+x2-(3a+2)x+4∴f'(x)=3ax2+2x-(3a+2)
f′(x)=0?(x-1)(3ax+3a+2)=0?x1=1,x=
3a+2
-3a

-
1
3
<a<0?x2>1
,故可知x1,x2∈[0,1]时f(x)max=f(0)=4,f(x)min=f(1)=3-2a
∴x1,x2∈D时,|f(x1)-f(x2)|≤1+2a<1故函数f(x)满足条件.
点评:本题主要考查了函数在某点处取极值的条件,以及不等式的解法和函数恒成立等问题,是一道综合题,属于中档题.
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