Question

14．判断函数f（x）=lg（1+x）+lg（1-x）函数的奇偶性，并求其值域和单调区间．

Answer 1

分析 先求出f（x）的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断出f（-x）=f（x），通过求导得到函数的单调性，从而求出函数的值域即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，解得：-1＜x＜1，
f（-x）=lg（1-x）+lg（1+x）=f（x），是偶函数，
f′（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{1-x}$=$\frac{-2x}{（1+x）（1-x）}$，
x∈（-1，0）时：f′（x）＞0，x∈（0，1）时：f′（x）＜0，
∴f（x）在（-1，0）递增，在（0，1）递减，
∴f（x）_最大值=f（0）=0，
∴f（x）的值域是（-∞，0]．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．