Question

已知曲线C：xy-4x+4=0，数列{a_n}的首项a₁=4，且当n≥2时，点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上，数列{b_n}满足．
（1）试判断数列{b_n}是否是等差数列？并说明理由；
（2）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（3）设数列{c_n}满足a_nb_n²c_n=1，试比较数列{c_n}的前n项和S_n与2的大小．

Answer 1

【答案】分析：本题以点（a_n-1，a_n）恒在曲线C：xy-4x+4=0上为情景，考查等差数列的证明、求数列的通项公式、求数列的前n项和等数列知识和研究方法；
（1）根据点（a_n-1，a_n）在曲线C上，将其代入方程可得：a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，由相邻两项作差得到-，所以数列{b_n}是等差数列
（2）由（1）知数列{b_n}是等差数列，首项和公差易得，所以数列{b_n}的通项公式可求，再根据两个数列的关系，数列{a_n}的通项公式可直接获得；
（3）根据数列{c_n}满足a_nb_n²c_n=1，由（2）可得数列{c_n}的通项公式，前n项和可由“裂项法”求得，与2的大小比较易得．
解答：解：（1）∵当n≥2时，点（a_n-1，a_n）恒在曲线C上
∴a_n-1a_n-4a_n-1+4=0（1分）
由得
当n≥2时，
=
=
=（4分）
∴数列{b_n}是公差为的等差数列；（5分）
（2）∵a₁=4，∴
∴（7分）
由得（9分）
（3）∵a_nb_n²c_n=1
∴=（10分）
∴S_n=c₁+c₂++c_n=
=．（12分）
点评：本题综合性强，知识联系广泛，涉及了数列的证明、通项公式、求和公式等，但解题思路清晰、方向明确；
注意在数列{b_n}是否是等差数列的判断时，运用b_n-b_n-1容易进行判断，在（3）得到S_n=c₁+c₂++c_n==后，会变形为易得．