Question

9．双曲线C；$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0））的左右焦点分别为F₁，F₂，双曲线C上一点P到右焦点F₂的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，若△PF₁F₂为锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• B． （1，1+$\sqrt{3}$）
• C． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，1+$\sqrt{3}$）
• D． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，2）∪（2，1+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由等差数列的性质，可得PF₂=$\frac{1}{2}$（c+a+c-a）=c，确定P为右支上一点，求得三角形PF₁F₂中的三边，运用余弦定理可得（2a+c）²+c²＞4c²，4c²+c²＞（2a+c）²，由离心率公式，计算即可得到所求范围．

解答 解：由双曲线C上一点P到右焦点F₂的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，
即有PF₂=$\frac{1}{2}$（c+a+c-a）=c＜c+a，c＞c-a，
可得P为右支上一点，
在三角形PF₁F₂中，F₁F₂=2c，PF₁=2a+c，PF₂=c，
由余弦定理，可得（2a+c）²+c²＞4c²，
化简可得c²-2ac-2a²＜0，即为e²-2e-2＜0，
解得1＜e＜1+$\sqrt{3}$；
又4c²+c²＞（2a+c）²，
化简可得e2-e-1＞0，解得e＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
综上可得e的范围是（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，1+$\sqrt{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的定义和性质，考查等差数列的性质，同时考查余弦定理的运用，不等式的解法，属于中档题．