Question

（2001•上海）用计算器验算函数y=

lgx

x

(x＞1)的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（　　）

• A．y=

  lgx

  x

  在（1，+∞）上是单调减函数
• B．y=

  lgx

  x

  ，x∈（1，+∞）有最小值
• C．y=

  lgx

  x

  ，x∈（1，+∞）的值域为(0，

  lg3

  3

  ]
• D．

  lim

  n→∞

  lgn

  n

  =0，n∈N

Answer 1

分析：利用导数研究函数的单调性，算出函数在（1，e）上为增函数，在（e，+∞）为减函数，最大值f（e）=

lge

e

，值域为（0，

lge

e

]，因此A、B、C都不正确．再根据极限的运算法则，算出

lim

n→∞

lgn

n

=0成立，由此可得答案．

解答：解：∵y=

lgx

x

的导数y′=

1 xln10 •x-lgx

x2

=

lge-lgx

x2

，
∴当x∈（1，e）时，y'＞0；当x∈（e，+∞）时，y'＜0
可得函数在（1，e）上为增函数，在（e，+∞）为减函数，
最大值f（e）=

lge

e

，值域为（0，

lge

e

]
由此可得A、B、C三项都不正确
由极限的运算法则，可得

lim

n→∞

lgn

n

=

lim

n→∞

1 nln10

1

=

lim

n→∞

1

nln10

=0
故D项正确
故选：D

点评：本题给出关于函数y=

lgx

x

(x＞1)的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．