题目内容
(本小题满分12分)
已知一四棱锥的底面是边长为1的正方形,侧棱
底面
,且
.
(1)求证:平面
(2)若点为
的中点,求二面角
的大小.
【答案】
解:(1)证明:连接,∵
是正方形,∴
.
∵底面
且
平面
,∴
.
又∵,∴
平面
. …………6分
(2)解法一:在平面内过点
作
于,连接
,
.
因为,
,
所以平面
,所以
,
所以为二面角
的平面角
又,
,所以
.
在Rt中,
同理,在Rt中,
在中,由余弦定理得
.
所以,即二面角
的大小为
.………………………12分
解法二:以点为坐标原点,
所在的直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如图所示:
则,
,
,
,从而
,
,
,
.
设平面和平面
的一个法向量分别为
,
,
由法向量的性质可得:,
,
,
,
令,
,则
,
,∴
,
.
设二面角的平面角为
,则
.
∴,即二面角
的大小为
【解析】略

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