题目内容
已知复数z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）．
（1）在复平面中，若OZ1⊥OZ2（O为坐标原点，复数z1，z2分别对应点Z1，Z2），求a，b，c，d满足的关系式；
（2）若|z1|=|z2|=1，|z1-z2|=
，求|z1+z2|．
（1）在复平面中，若OZ1⊥OZ2（O为坐标原点，复数z1，z2分别对应点Z1，Z2），求a，b，c，d满足的关系式；
（2）若|z1|=|z2|=1，|z1-z2|=
| 3 |
分析：（1）由OZ1⊥OZ2 ，得
•
=0，即 ac+bd=0．
（2））根据（z1-z2 ）（
）=z1
+z2
-（z1
+
z2 ）=3，求出（z1
+
z2 ）=-1，再由
|z1+z2|2=（z1+z2 ）（
）=z1
+z2
+（z1
+
z2 ）=1求出|z1+z2|的值．
| OZ1 |
| OZ2 |
（2））根据（z1-z2 ）（
. |
| z1- z2 |
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
|z1+z2|2=（z1+z2 ）（
. |
| z1+z2 |
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
解答：解：（1）由OZ1⊥OZ2 ，得
•
=0，即 ac+bd=0．----------6分
（2）∵（z1-z2 ）（
）=z1
+z2
-（z1
+
z2 ）=|z1-z2|2=3，
即 1+1-（z1
+
z2 ）=3，∴（z1
+
z2 ）=-1，--------10分
∴|z1+z2|2=（z1+z2 ）（
）=z1
+z2
+（z1
+
z2 ）=1+1-1=1．
故|z1+z2|=1．------14分．
| OZ1 |
| OZ2 |
（2）∵（z1-z2 ）（
. |
| z1- z2 |
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
即 1+1-（z1
. |
| z2 |
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
∴|z1+z2|2=（z1+z2 ）（
. |
| z1+z2 |
. |
| z1 |
. |
| z2 |
. |
| z2 |
. |
| z1 |
故|z1+z2|=1．------14分．
点评：本题主要考查复数的代数形式的表示法及其几何意义，求复数的模，利用了z
=|z|2．
. |
| z |
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