Question

已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为α、β（如图1），则cos²α+cos²β=1．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos²α+cos²β=1，我们根据平面性质可以类比推断出空间性质，我们易得答案．

解答：解：有如下命题：长方体ABCD-A'B'C'D'中，对角线AC'与棱AB、AD、AA'所成的角分别为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=1…（4分）
证明：∵cosα=

AB

AC′

，_C#Ocosβ=

AD

AC′

，cosγ=

AA′

AC′

…（10分）
∴cos2α+cos2β+cos2γ=

AB2+AD2+AA′2

AC′2

=

AC′2

AC′2

=1…（13分）
此题答案不唯一，只要类比写出的命题为真并证明，都应给相应的分数

点评：本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．