题目内容
已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为α﹑β，则cos2α+cos2β=1．若把它推广到空间长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面A1B、A1C1、A1D所成的角分别为α、β、γ，则
sin2α+sin2β+sin2γ=1
sin2α+sin2β+sin2γ=1
．分析：由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α+cos2β=1，我们根据平面性质可以类比推断出空间性质，我们易得答案．
解答：
解：有如下命题：长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面A1B、A1C1、A1D所成的角分别为α、β、γ，则 sin2α+sin2β+sin2γ=1…（4分）
证明：如图，对角线A1C与平面A1B所成的角为∠CA1B=α，
在直角三角形CA1B中，
∵sinα=
，
同理：sinβ=
，sinγ=
…（10分）
∴sin2α+sin2β+sin2γ=
=
=1…（13分）．
故答案为：sin2α+sin2β+sin2γ=1．
解：有如下命题：长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面A1B、A1C1、A1D所成的角分别为α、β、γ，则 sin2α+sin2β+sin2γ=1…（4分）证明：如图，对角线A1C与平面A1B所成的角为∠CA1B=α，
在直角三角形CA1B中，
∵sinα=
| BC |
| A 1C |
同理：sinβ=
| CC 1 |
| A 1C |
| CD |
| A 1C |
∴sin2α+sin2β+sin2γ=
| BC2+CC 12+CD′2 |
| A 1C2 |
| A 1C2 |
| A 1C2 |
故答案为：sin2α+sin2β+sin2γ=1．
点评：本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质，或是将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质．
练习册系列答案
一本好题口算题卡系列答案
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（如图1），则
.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明。
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（如图1），则
.用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明。
