题目内容
定义数列{xn}，如果存在常数p，使对任意正整数n，总有（xn+1-p）（xn-p）＜0成立，那么我们称数列{xn}为“p-摆动数列”．（1）设an=2n-1，
，n∈N*，判断{an}、{bn}是否为“p-摆动数列”，并说明理由；（2）已知“p-摆动数列”{cn}满足cn+1=
，c1=1，求常数p的值；（3）设dn=（-1）n•（2n-1），且数列{dn}的前n项和为Sn，求证：数列{Sn}是“p-摆动数列”，并求出常数p的取值范围．
【答案】分析：（1）根据题目给出的摆动数列的定义，对数列{an}加以验证，看是否存在常数p，使得2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，只要n去不同的值1，2，即可发现p不存在，而对于数列{bn}，满足
对任意n成立，所以，p可取值为0；
（2）由数列{cn}是“p-摆动数列”，且满足cn+1=
，c1=1，求出c2后可断定常数p的初步范围，再由（xn+1-p）（xn-p）＜0对任意正整数n成立，得出数列的奇数项都小于p，偶数项都大于p，或奇数项都大于p，偶数项都小于p，然后利用“两边夹”的办法可求p的值；
（3）由dn=（-1）n•（2n-1），求出数列{dn}的前n项和，由前n项和看出p=0时即可使数列{Sn}满足“p-摆动数列”的定义，然后根据数列{Sn}在n为奇数和n为偶数时的单调性即可求出p的范围．
解答：解：（1）假设数列{an}是“p-摆动数列”，
即存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1时，则1＜p＜3，取n=2时，则3＜p＜5，显然常数p不存在，
所以数列{an}不是“p-摆动数列”；
由
，于是
对任意n成立，其中p=0．
所以数列{bn}是“p-摆动数列”．
（2）由数列{cn}为“p-摆动数列”，又c1=1，所以
，
即存在常数
，使对任意正整数n，总有（cn+1-p）（cn-p）＜0成立；
即有（cn+2-p）（cn+1-p）0，
所以c1＞p⇒c3＞p⇒…⇒c2n-1＞p．
同理c2＜p⇒c4＜p⇒…⇒c2n＜p．
所以c2n＜p＜c2n-1⇒
，解得
，
即
．
同理
，解得
，即
．
综上
．
（3）证明：由
．
当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，
，
显然存在p=0，使对任意正整数n，总有
成立，
所以数列{Sn}是“p-摆动数列”；
当n为奇数时Sn=-n递减，所以Sn≤S1=-1，只要p＞-1即可
当n为偶数时Sn递增，Sn≥S2，只要p＜2即可
综上-1＜p＜2，p的取值范围是（-1，2）．
如取
时，
=
=
．
因为
，-n（n+1）≤-2，
存在
，使
＜0成立．
所以数列{Sn}是“p-摆动数列”．
点评：本题是新定义下的等差数列和等比数列综合题，考查了学生的发散思维能力，解答此题的关键是在理解定义的基础上，把问题转化为熟悉的知识来解决，用到了证明不等式的“两边夹”的方法，此题是有一定难度的问题．
对任意n成立，所以，p可取值为0；（2）由数列{cn}是“p-摆动数列”，且满足cn+1=
，c1=1，求出c2后可断定常数p的初步范围，再由（xn+1-p）（xn-p）＜0对任意正整数n成立，得出数列的奇数项都小于p，偶数项都大于p，或奇数项都大于p，偶数项都小于p，然后利用“两边夹”的办法可求p的值；（3）由dn=（-1）n•（2n-1），求出数列{dn}的前n项和，由前n项和看出p=0时即可使数列{Sn}满足“p-摆动数列”的定义，然后根据数列{Sn}在n为奇数和n为偶数时的单调性即可求出p的范围．
解答：解：（1）假设数列{an}是“p-摆动数列”，
即存在常数p，总有2n-1＜p＜2n+1对任意n成立，
不妨取n=1时，则1＜p＜3，取n=2时，则3＜p＜5，显然常数p不存在，
所以数列{an}不是“p-摆动数列”；
由
，于是对任意n成立，其中p=0．所以数列{bn}是“p-摆动数列”．
（2）由数列{cn}为“p-摆动数列”，又c1=1，所以
，即存在常数
，使对任意正整数n，总有（cn+1-p）（cn-p）＜0成立；即有（cn+2-p）（cn+1-p）0，
所以c1＞p⇒c3＞p⇒…⇒c2n-1＞p．
同理c2＜p⇒c4＜p⇒…⇒c2n＜p．
所以c2n＜p＜c2n-1⇒
，解得，即
．同理
，解得，即．综上
．（3）证明：由
．当n为偶数时，
当n为奇数时，
所以，
，显然存在p=0，使对任意正整数n，总有
成立，所以数列{Sn}是“p-摆动数列”；
当n为奇数时Sn=-n递减，所以Sn≤S1=-1，只要p＞-1即可
当n为偶数时Sn递增，Sn≥S2，只要p＜2即可
综上-1＜p＜2，p的取值范围是（-1，2）．
如取
时，=
=
．因为
，-n（n+1）≤-2，存在
，使＜0成立．所以数列{Sn}是“p-摆动数列”．
点评：本题是新定义下的等差数列和等比数列综合题，考查了学生的发散思维能力，解答此题的关键是在理解定义的基础上，把问题转化为熟悉的知识来解决，用到了证明不等式的“两边夹”的方法，此题是有一定难度的问题．
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