题目内容
【题目】如图几何体ADM-BCN中， 
是正方形， 
， 
， 
， 
， 
.
（Ⅰ）求证： 
；
（Ⅱ）求证： 
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ） 
.
【解析】试题分析：（Ⅰ）说明
∥
，利用直线与平面平行的判定定理即可证明
∥平面
；（Ⅱ）说明
，结合
，证明
平面
，推出
，证明
，即可证明
面
；（Ⅲ）法1：以点
为坐标原点，建立空间直角坐标系
，求出面
的法向量，利用向量的数量积求解二面角
的余弦值；法2：以点
为坐标原点，建立空间直角坐标系
，如图所示；求出面
的法向量，利用向量的数量积求解二面角
的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）在正方形
中， 
；
又
， 
；
.
（Ⅱ）
四边形
是正方形
， 
， 
， 
， 
， 
.
（Ⅲ）法1：以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系
，如图所示；
由（Ⅱ）
；
设面
的法向量
，
令
， 
由图可知二面角
为锐角
二面角
的余弦值为
.
法2：以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系
，如图所示；
由（Ⅱ）
；
设面
的法向量
，
令
， 
由图可知二面角
为锐角
二面角
的余弦值为
.
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