题目内容

如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E是棱BC的中点,点F是棱CD上的动点.

(1)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB1F;

(2)当D1E⊥平面AB1F时,求二面角C1EFA的大小(结果用反三角函数值表示).

解法一:(1)连结A1B,则A1B是D1E在面ABB1A1内的射影.

∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1.

于是D1E⊥平面AB1FD1E⊥AF.

连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.∴D1E⊥AFDE⊥AF.

∵四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,

∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,

即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.

(2)当D1E⊥平面AB1F时,由(1)知点F是CD的中点.

又已知点E是BC的中点,连结EF,EF∥BD.

连结AC.设AC与EF交于点H,则CH⊥EF.连结C1H,

则CH是C1H在底面ABCD内的射影.

∴C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角.

在Rt△C1CH中,∵C1C=1,CH=AC=,

∴tan∠C1HC==2.

∴∠C1HC=arctan2,从而∠AHC1=π-arctan2.

故二面角C1-EF-A的大小为π-arctan2.

解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.

 (1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1, ,0),F(x,1,0).

=(1,- ,-1), =(1,0,1), =(x,1,0).

·=1-1=0,即.

于是⊥平面AB1F⊥AF·=0x-=0,

即x=.故当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB1F.

(2)当D1E⊥平面AB1F时,F是CD的中点.

又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD.

连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF.

连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影.

∴C1H⊥EF,即∠AHC1是二面角C1-EF-A的平面角.

∵C1(1,1,1),H(,,0),

=(,,1), =(-,-,0).

∴cos∠AHC1=,

即∠AHC1=arccos(-)=π-arccos.

故二面角C1-EF-A的大小为π-arccos.

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