题目内容
如图,在棱长为1的正方体ABCD—A1B(1)试确定点F的位置,使得D1E⊥平面AB
(2)当D1E⊥平面AB
解法一:(1)连结A1B,则A1B是D1E在面ABB
∵AB1⊥A1B,∴D1E⊥AB1.
于是D1E⊥平面ABD1E⊥AF.
连结DE,则DE是D1E在底面ABCD内的射影.∴D1E⊥AFDE⊥AF.
∵四边形ABCD是正方形,E是BC的中点,
∴当且仅当F是CD的中点时,DE⊥AF,
即当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB
(2)当D1E⊥平面AB
又已知点E是BC的中点,连结EF,EF∥BD.
连结AC.设AC与EF交于点H,则CH⊥EF.连结C1H,
则CH是C1H在底面ABCD内的射影.
∴C1H⊥EF,即∠C1HC是二面角C1-EF-C的平面角.
在Rt△C1CH中,∵CAC=
,
∴tan∠C1HC==2
.
∴∠C1HC=arctan2,从而∠AHC1=π-arctan2
.
故二面角C1-EF-A的大小为π-arctan2.
解法二:以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)设DF=x,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),E(1, ,0),F(x,1,0).
∴=(1,-
,-1),
=(1,0,1),
=(x,1,0).
∴·
=1-1=0,即
⊥
.
于是⊥平面AB
⊥AF
·
=0
x-
=0,
即x=.故当点F是CD的中点时,D1E⊥平面AB
(2)当D1E⊥平面AB
又E是BC的中点,连结EF,则EF∥BD.
连结AC,设AC与EF交于点H,则AH⊥EF.
连结C1H,则CH是C1H在底面ABCD内的射影.
∴C1H⊥EF,即∠AHC1是二面角C1-EF-A的平面角.
∵C1(1,1,1),H(,
,0),
∴=(
,
,1),
=(-
,-
,0).
∴cos∠AHC1=,
即∠AHC1=arccos(-)=π-arccos
.
故二面角C1-EF-A的大小为π-arccos.
