题目内容
在△ABC中，已知（a+b+c）（a+b-c）=3ab，且2cosAsinB=sinC，试确定△ABC的形状．
分析：由已知2cosAsinB=sinC=sin（A+B），结合和差角公式可求得A=B，由（a+b+c）（a+b-c）=3ab，可得a2+b2-c2=ab，利用余弦定理可得C，从而可判断三角形的形状．
解答：解：由三角形的内角和公式可得，2cosAsinB=sinC=sin（A+B）
∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA
∴sinAcosB-sinBcosA=0，
∴sin（A-B）=0，∴A=B
∵（a+b+c）（a+b-c）=3ab
∴（a+b）2-c2=3ab
即a2+b2-c2=ab
由余弦定理可得cosC=
=
∵0＜C＜π，∴C=
，∴A=B=C=
故△ABC为等边三角形
∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA
∴sinAcosB-sinBcosA=0，
∴sin（A-B）=0，∴A=B
∵（a+b+c）（a+b-c）=3ab
∴（a+b）2-c2=3ab
即a2+b2-c2=ab
由余弦定理可得cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 1 |
| 2 |
∵0＜C＜π，∴C=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
故△ABC为等边三角形
点评：本题考查两角和与差的三角公式及余弦定理解三角形，解题的关键是熟练掌握三角基本公式．
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