题目内容
【题目】已知函数
有两个极值点
.
(1)求实数
的取值范围；
(2)求证： 
，其中
为自然对数的底数.
【答案】(1) 
(2)见解析
【解析】试题分析：(1) 由
得
， 
有两个极值点
，即方程
有两解，即
的图象与直线
有两个公共点，利用导数研究函数
的单调性，结合函数图象即可求得实数
的取值范围；(2) ∵
，∴
，故只需证明： 
， 
等价于
，不妨设
，并令
， 
，利用导数可证明
，从而可得结果.
试题解析：(1)由
得
，
记
，则
，
当
时， 
，当
时， 
，
∴
在
上递增，在
上递减，
又
， 
时， 
， 
时， 
，
由题， 
有两个极值点
，即方程
有两解，
即
的图象与直线
有两个公共点，
故
.
(2)∵
，∴
，故只需证明： 
，
由
，作差得： 
，
因此， 
，
不妨设
，并令
， 
，
则
，∴
在
上单调递减， 
，
即
，即
成立，于是原命题得证.
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