题目内容
【题目】如图,是棱长为2的正方体,
为面对角线
上的动点(不包括端点),
平面
交
于点
,
于
.
(1)试用反证法证明直线与
是异面直线;
(2)设,将
长表示为
的函数
,并求此函数的值域;
(3)当最小时,求异面直线
与
所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析;(2),值域
;(3)
【解析】
(1)假设直线与
是共面直线,利用公理2及长方体的相邻两个面不重合证明;
(2)设,利用平行线解线段成比例求得
,得到
,进一步求得
,再由勾股定理列式求解
,结合二次函数求值域;
(3)当时,
最小,此时
,由于
,又
,
为异面直线
与
所成角的平面角,通过解直角三角形
得答案.
(1)证明:假设直线与
是共面直线,
设直线与
都在平面
上,则
、
、
、
.
因此,平面、平面
都与平面
有不共线的三个公共点,
即平面和平面
重合(都与平面
重合),
这与长方体的相邻两个面不重合矛盾,
于是,假设不成立,
直线
与
是异面直线;
(2)解:正方体
的棱长为2,
,
设,则
,得
,
,
,得
,
,
当时,
有最小值为
,当
时,
,
函数的值域为
;
(3)当时,
最小,此时
,
在底面中,
,
,
,
又,
为异面直线
与
所成角的角,
在中,
为直角,
,
,
∴异面直线与
所成角的大小为
.
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练习册系列答案
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【题目】某初级中学共有学生2000名,各年级男生女生人数如表: 已知在全校学生中随机抽取1名,抽到的是初二年级女生的概率是0.19.
初一年级 | 初二年级 | 初三年级 | |
女生 | 373 | x | y |
男生 | 377 | 370 | z |
(1)求x的值.
(2)现用分层抽样法在全校抽取48名学生,问应在初三年级学生中抽取多少名?
(3)已知y≥245,z≥245,求初三年级女生比男生多的概率.