Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2

，且过点（4，3）．
（1）求双曲线C的标准方程和焦点坐标；
（2）已知点P在双曲线C上，且∠F₁PF₂=90°，求点P到x轴的距离．

Answer 1

分析：（1）通过离心率与点在双曲线上，得到两个方程，求出a，b，即可求双曲线C的标准方程和焦点坐标；
（2）利用点P在双曲线C上，且∠F₁PF₂=90°，勾股定理与双曲线的定义列出方程，利用三角形的面积，求点P到x轴的距离．

解答：解：（1）∵e2=

c2

a2

=1+

b2

a2

=2∴a²=b²
∴双曲线C：

x2

a2

-

y2

a2

=1…（2分）
将点（4，3）代入得a²=b²=1…（4分）
∴双曲线C的标准方程为x²-y²=1，焦点坐标为F₁（-

2

，0）和F₂（

2

，0）…（6分）
（2）由已知得

|F1P|2+|F2P|2=8 ||F1P|-|F2P||=2

∴|F₁P|•|F₂P|=2…（9分）
所以点P到x轴的距离为

|F1P|•|F2P|

|F1F2|

=

2

2 2

=

2

2

．…（12分）

点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质，考查计算能力．