Question

15．已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求使f（x）＞2m-1在区间x∈[-1，4]上恒成立的m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可求f（x）的解析式；
（2）利用参数分离法，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），
∴0，5是方程f（x）=0的两个根，且抛物线开口向上，
设f（x）=ax（x-5），a＞0．
则对称轴为x=$\frac{5}{2}$，
∵f（x）在区间[-1，4]上的最大值是12，
∴当x=-1时，函数取得最大值，
此时f（-1）=6a=12，解得a=2．
则f（x）=2x（x-5）．
（2）由f（x）＞2m-1，得2x（x-5）＞2m-1，
即2x²-10x+1＞2m在区间x∈[-1，4]上恒成立，
设g（x）=2x²-10x+1，
则g（x）=2x²-10x+1=2（x-$\frac{5}{2}$）²$-\frac{23}{2}$，
∵x∈[-1，4]上，
∴当x=$\frac{5}{2}$时，函数g（x）取得最小值为$-\frac{23}{2}$，
则由$-\frac{23}{2}$＞2m，得m＜$-\frac{23}{4}$，
即m的取值范围是（-∞，$-\frac{23}{2}$）．

点评 本题主要考查一元二次函数解析式的求解，以及一元二次函数最值的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．