题目内容
已知椭圆与双曲线x2-
=1有公共的焦点，且椭圆过点P（0，2）．
（1）求椭圆方程的标准方程；
（2）若直线l与双曲线的渐近线平行，且与椭圆相切，求直线l的方程．
| y2 |
| 3 |
（1）求椭圆方程的标准方程；
（2）若直线l与双曲线的渐近线平行，且与椭圆相切，求直线l的方程．
（1）设椭圆方程为
+
=1（a＞b＞0）．
双曲线x2-
=1的焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），
∴椭圆焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），∴c=2，即a2=b2+4，
又椭圆过点P（0，2），则0+
=1，
∴b2=4，得a2=8，
∴所求椭圆方程的标准方程为
+
=1；
（2）双曲线渐近线方程：y=±
x，
设直线l：y=±
x+m，
代入椭圆方程得：7x2±4
mx+2m2-8=0，
由相切得：△=48m2-28（2m2-8）=0，解得m=±2
∴直线l的方程是：y=±
x±2
．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
双曲线x2-
| y2 |
| 3 |
∴椭圆焦点坐标分别为（-2，0）（2，0），∴c=2，即a2=b2+4，
又椭圆过点P（0，2），则0+
| 4 |
| b2 |
∴b2=4，得a2=8，
∴所求椭圆方程的标准方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）双曲线渐近线方程：y=±
| 3 |
设直线l：y=±
| 3 |
代入椭圆方程得：7x2±4
| 3 |
由相切得：△=48m2-28（2m2-8）=0，解得m=±2
| 7 |
∴直线l的方程是：y=±
| 3 |
| 7 |
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