Question

设M=10a²+81a+207，P=a+2，Q=26-2a，若将lgM，lgQ，lgP适当排序后可构成公差为1的等差数列{a_n}的前三项．
（Ⅰ）求a的值及{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记函数f(x)=anx2+2an+1x+an+2(n∈N*)的图象在x轴上截得的线段长为b_n，设 Tn=

1

4

(b1b2+b2b3+…+bn-1bn)，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意有-2＜a＜13，利用作差法可比较M，P，Q中M最大，而P，Q的大小需要根据a的范围来确定，结合等差数列及对数的运算性质可求出满足题意的a及通项
（Ⅱ）由等差数列的性质可得，2a_n+1=a_n+a_n+2，由f（x）=0时，（x+1）（a_nx+a_n+2）=0，从而可求得bn=|x1-x2|=|

an+2

an

-1|=|

2

an

|，结合a_n=n-2lg2＞0，可得b_n，然后代入，利用裂项求和即可

解答：解：（Ⅰ）依题意有-2＜a＜13，
∵M-P=10a²+80a+205＞0，M-Q=10a²+83a+181＞0，
∴M最大．
又P-Q=-24+3a，
当-2＜a＜8时，P＜Q，lgP+1=lgQ．
∴10P=Q，
∴a=

1

2

，此时M＞Q＞P，且满足lgM=1+lgQ．
∴a=

1

2

符合题意．
当8＜a＜13时，P＞Q，lgP=1+lgQ．
∴10Q=P，
∴a=

86

7

．
但此时不满足lgM=1+lgP．
∴a≠

86

7

．
∴{a_n}的前三项为lgP，lgQ，lgM，此时a=

1

2

．
∴a_n=lgP+（n-1）×1=n-2lg2．
（Ⅱ）∵2a_n+1=a_n+a_n+2
∴x=-1是函数f(x)=anx2+2an+1x+an+2(n∈N*)的零点
即f（x）=0时，（x+1）（a_nx+a_n+2）=0
∴bn=|x1-x2|=|

an+2

an

-1|=|

2

an

|，||b_n=|x₁-x₂|=|-1-(-

an+2

an

)|
又∵a_n=n-2lg2＞0，
∴bn=

2

an

，
∴bn-1bn=

2

an-1

×

2

an

=4(

1

an-1

-

1

an

)．
∴Tn=

1

4

(b1b2+b2b3+…+bn-1bn)=

1

4

×4[(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an-1

-

1

an

)]
=

1

a1

-

1

an

=

1

1-2lg2

-

1

n-2lg2

=

n-1

(1-2lg2)(n-2lg2)

．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，等差数列的性质的应用及数列的裂项求和方法的应用，试题具有一定的综合性