题目内容

已知向量
a
=(sin2
π
6
x，cos2
π
6
x)，
b
=(sin2
π
6
x，-cos2
π
6
x)，g(x)=
a
•
b

（1）求函数g（x）的解析式．
（2）若集合M={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1），x∈R}，试判断g（x）与集合M的关系．
（3）记A={x|a≥2g（x）}，B={x|y=
3x2-x-2
(a-5)x2+2(a-5)x-4
}，若（?RA）∪（?RB）=∅，求实数a的取值范围．
分析：（1）直接代入向量的数量积计算公式整理后即可求出函数g（x）的解析式；
（2）直接计算g（x）+g（x+2）看是否符合集合M中的元素所满足的条件即可得出结论；
（3）直接利用（CRA）∪（CRB）=∅，得到A=B=R；再分别利用A=R以及B=R求出对应的实数a的取值范围，综合即可得出结论．
解答：解：（1）∵向量
a
=(sin2
π
6
x，cos2
π
6
x)，
b
=(sin2
π
6
x，-cos2
π
6
x)，g(x)=
a
•
b

∴g(x)=sin4
π
6
x-cos4
π
6
x
=(sin2
π
6
x-cos2
π
6
x)(sin2
π
6
x+cos2
π
6
x)=-cos
π
3
x，（4分）
（2）∵g(x)+g(x+2)=-[cos
πx
3
+cos(
πx
3
+
2π
3
)]
=-(cos
πx
3
+cos
πx
3
cos
2π
3
-sin
πx
3
sin
2π
3
)
=-(
1
2
cos
πx
3
-
3
2
sin
πx
3
)
=-cos
π
3
(x+1)=g(x+1)，
∴g（x）∈M．（8分）
（3）∵（CRA）∪（CRB）=∅，
∴A=B=R．
由A=R?a≥2    ①
由B=R?1＜a≤5    ②．
由①，②得a∈[2，5]（14分）
点评：本题主要考查平面向量数量积的运算以及元素与集合关系的判断．元素与集合之间的关系命题方向有二，一是验证元素是否是集合的元素；二是知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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