Question

12、函数y=log_a（x²+2x-3），当x=2时y＞0，则此函数的单调递减区间为

（-∞，-3）

．

Answer 1

分析：根据题意，用换元法，令x²+2x-3=t，则函数y=log_at，由t=x²+2x-3＞0，得：x＜-3或  x＞1．由当x=2时，y=log_at=log_a⁵＞0，可得a＞1，故函数y的单调性和t的单调性一致．在（-∞，-3）和（1，+∞）上，通过t的单调性研究y=log_a^t 的单调性，可得此函数的单调递减区间．

解答：解：令t=x²+2x-3=（x+3）（x-1）=（x+1）²-4，则 y=log_a^t，t＞0，∴x＜-3或  x＞1．
∵当x=2时，y=log_a⁵＞0，∴a＞1，
在（-∞，-3）上，t是减函数，∴y=log_a^t 是个减函数，
在（1，+∞）上，t是增函数，∴y=log_a^t 是个增函数，
∴此函数的单调递减区间为（-∞，-3）．
故答案为（-∞，-3）．

点评：本题考查对数函数、二次函数的单调性及单调区间，属于对复合函数求单调区间．