题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,平面
底面
,
为
的中点,
是
的中点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)在中,得
,再由平面
底面
,证的
底面
,即可证明
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面
,建立空间直角坐标系,得到
为平面
的一个法向量,且
,再求得平面
的法向量为
,利用向量的夹角公式,即可求解二面角的余弦值.
试题解析:
(Ⅰ)在中,
,
为
的中点,所以
.
因为平面底面
,且平面
底面
,
所以底面
.
又平面
,
所以.
(Ⅱ)在直角梯形中,
,
,
为
的中点,
所以,
所以四边形为平行四边形.
因为,所以
,由(Ⅰ)可知
平面
,
以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系
.
则,
,
,
,
,
.
因为,
,所以
平面
,
即为平面
的一个法向量,且
.
因为是棱
的中点,所以点
的坐标为
,
又,设平面
的法向量为
.
则,即
,
令,得
,
,所以
.
从而
.
由题知,二面角为锐角,所以二面角
的余弦值为
.
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