Question

已知关于t的方程t²-2t+a=0一个根为1+

3

i．(a∈R)
（1）求方程的另一个根及实数a的值；
（2）若x+

a

x

≥m2-3m+6在x∈(0，+∞)上恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可以把根1+

3

i代入方程，化简求出a的值．
（2）由x+

a

x

≥m2-3m+6在x∈(0，+∞)上恒成立，得到（x+

a

x

）最小值≥m²-3m+6即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）关于t的方程t²-2t+a=0的一个根为1+

3

i（a∈R），
所以有（1+

3

i）²-2（1+

3

i）+a=0
所以a=4，
方程的另一个根为：1-

3

i．
（2）由x+

a

x

≥m2-3m+6在x∈(0，+∞)上恒成立，
（x+

a

x

）最小值≥m²-3m+6；⇒4≥m²-3m+6
∴m²-3m+2≤0
∴1≤m≤2，
试求实数m的取值范围[1，2]．

点评：本题考查方程的根的概念，复数的运算，函数的最值问题．在解答的过程当中充分体现了方程虚根的求法，恒成立问题的解答规律以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．