Question

14．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，＜$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，则$\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，可得△OAB是等边三角形．设$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$．由＜$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，可得点C在△ABC的外接圆上，则当OC为△ABC的外接圆的直径时，$\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$取得最大值．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$．
∵非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|，
∴△OAB是等边三角形．
设$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，则$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$．
∵＜$\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，
∴点C在△ABC的外接圆上，
则当OC为△ABC的外接圆的直径时，$\frac{|\overrightarrow{c}|}{|\overrightarrow{a}|}$取得最大值=$\frac{1}{cos3{0}^{°}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了向量的三角形法则、等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．