Question

（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足

.

OA

.

=

.

OB

.

=

OA

•

OB

=2，则点集{P|

OP

=λ

OA

+μ

OB

，

.

λ

.

+

.

μ

.

≤1，λ、μ∈R}所表示的区域面积是（　　）

• A．2

  2

• B．2

  3

• C．4

  2

• D．4

  3

Answer 1

分析：由两定点A，B满足

.

OA

.

=

.

OB

.

=

OA

•

OB

=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．

解答：解：由两定点A，B满足

.

OA

.

=

.

OB

.

=

OA

•

OB

=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．
不妨设A（

3

，-1），B（

3

，1）．再设P（x，y）．
由

OP

=λ

OA

+μ

OB

，得：(x，y)=(

3

λ，-λ)+(

3

μ，μ)=(

3

(λ+μ)，μ-λ)．
所以

λ+μ= 3 3 x μ-λ=y

，解得

λ= 3 6 x- 1 2 y μ= 3 6 x+ 1 2 y

①．
由|λ|+|μ|≤1．
所以①等价于

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y≥0 x≤ 3

或

3 6 x- 1 2 y≥0 3 6 x+ 1 2 y＜0 y≥-1

或

3 6 x- 1 2 y＜0 3 6 x+ 1 2 y≥0 y≤1

或

3 6 x- 1 2 y＜0 3 6 x+ 1 2 y＜0 x≥- 3

．
可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，

则区域面积为2×2

3

=4

3

．
故选D．

点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．