题目内容

(2013•安徽)“a≤0”是”函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的(  )
分析:先看当“a≤0”时,去掉绝对值,结合二次函数的图象求出函数f(x)=|(ax-1)x|是否在在区间(0,+∞)内单调递增;再反过来当函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增时,a≤0是否成立即可.
解答:解:当“a≤0”时,x∈(0,+∞)
f(x)=|(ax-1)x|=-a(x-
1
a
)x,结合二次函数图象可知
函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增.
若a>0,如取a=1,则函数f(x)=|(ax-1)x|=|(x-1)x|,当x∈(0,+∞)时
f(x)=
(x-1)x,x≥1
-(x-1)x,0<x<1
,如图所示,它在区间(0,+∞)内有增有减,
从而得到函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增得出a≤0.
”a≤0”是”函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件.
故选C.
点评:本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断,函数的单调性及单调区间,单调性是函数的重要性质,属于基础题.
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