Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不垂直与坐标轴的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为直径的圆过原点，且线段AB的垂直平分线交y轴于点P（0，-$\frac{3}{2}$），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足方程及a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；
（2）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），联立椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，以AB为直径的圆过坐标原点，则有$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0即为x₁x₂+y₁y₂=0，代入化简整理，再由两直线垂直的条件，解方程可得k，进而得到所求直线方程．

解答 解：（1）由题意得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
又a²-b²=c²，解得a=2，b=1，
所以椭圆C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．                
（2）设直线l的方程设为y=kx+t，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$消去y得（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
则有x₁+x₂=$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
△＞0可得4k²+1＞t²，
y₁+y₂=kx₁+t+kx₂+t=k（x₁+x₂）+2t=$\frac{2t}{1+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂+kt（x₁+x₂）+t²=k²•$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+kt•$\frac{-8kt}{1+4{k}^{2}}$+t²=$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
因为以AB为直径的圆过坐标原点，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0即为x₁x₂+y₁y₂=0，
即为$\frac{4{t}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+$\frac{{t}^{2}-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，可得5t²=4+4k²，①
由4k²+1＞t²，可得t＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又设AB的中点为D（m，n），则m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4kt}{1+4{k}^{2}}$，n=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$，
因为直线PD与直线l垂直，所以k_PD=-$\frac{1}{k}$=$\frac{-\frac{3}{2}-n}{-m}$，可得$\frac{t}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$②
由①②解得t₁=1或t₂=-$\frac{3}{5}$，
当t=-$\frac{3}{5}$时，△＞0不成立．
当t=1时，k=±$\frac{1}{2}$，
所以直线l的方程为y=$\frac{1}{2}$x+1或y=-$\frac{1}{2}$x+1．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查圆的性质：直径所对的圆周角为直角，考查直线垂直的条件和直线方程的求法，属于中档题．