Question

已知函数f（x）=x²+px+q，若集合{x|f（x）=x}中仅有一个元素2，
（1）求实数p，q的值；
（2）求集合{x|f（x-1）=x+1}．

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=x²+px+q，若集合{x|f（x）=x}中仅有一个元素2，将问题转化为方程x²+（p-1）x+q=0有两个相等的实数根为2，可以方程可以凑成完全平方式，利用系数相等，可以求解；
（2）由（1）求得的解析式f（x），代入f（x-1）=x+1，得到一个方程，解出方程的解，就是集合的元素；

解答：解：（1）f（x）=x有两个相等的实数根，f（x）=x²+px+q=x，
可得方程x²+（p-1）x+q=0有两个相等的实数根为2，说明可以凑成完全平方式，
∴x²+（p-1）x+q=（x-2）²=x²-4x+4，∴p-1=-4，q=4，
所以p=-3，q=4；
（2）f（x-1）=x+1即是：（x-1）²-3（x-1）+4=x+1，
解得x=3±

2

，
∴{x|f（x-1）=x+1}={3+

2

，3-

2

}．

点评：此题主要考查函数的零点问题，以及方程有一个实根的情况，可以将其凑成完全平方式来求解，此题是一道基础题；