Question

已知f(x)=log22x-2log2x+4，x∈[

2

，8]
（1）设t=log2x，x∈[

2

，8]，求t的最大值与最小值；
（2）求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：（1）利用t=log2x在x∈[

2

，8]是单调增函数，可求t的最大值与最小值；
（2）换元，利用二次函数的单调性，即可求f（x）的最大值与最小值．

解答：解：（1）t=log2x在x∈[

2

，8]是单调增函数，
∴t_max=log₂8=3，tmin=log2

2

=

1

2

…（5分）
（2）令t=log2x，x∈[

2

，8]，∴t∈[

1

2

，3]
原式变为：f（x）=t²-2t+4，∴f（x）=（t-1）²+3，…（7分）
∵t∈[

1

2

，3]，∴当t=1时，此时x=2，f（x）_min=3，…（10分）
当t=3时，此时x=8，f（x）_max=7．…（12分）

点评：本题考查函数的单调性与最值，考查换元法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．